基础 BFS 从单一起点逐层扩展，能解决无权图最短路。但面试中有三类变体让朴素 BFS 力不从心：
| 场景 | 痛点 | 解法 |
|---|---|---|
| 起点→终点最短路（状态空间巨大） | 单向扩展节点数指数爆炸 | 双向 BFS |
| 多个起点同时扩散（腐烂橘子、01矩阵） | 对每个源点跑一次 BFS 太慢 | 多源 BFS |
| 状态变换最少步数（转盘锁、单词接龙） | 状态不是图节点而是"编码" | 最小步数模型 |
从起点和终点同时扩展，每次选节点数更少的一端扩展一层。当两端"相遇"（出现交集）时，步数之和即为最短路。
graph LR S((起点)) -->|正向扩展| M((相遇层)) T((终点)) -->|反向扩展| M
为什么快？ 设分支因子为 b、最短距离为 d：
当 b=10, d=6 时，单向需 10^6 节点，双向仅需 2×10^3。
int bidirectionalBFS(String start, String end, Set<String> dict) {
if (start.equals(end)) return 0;
Set<String> head = new HashSet<>(), tail = new HashSet<>();
Set<String> visited = new HashSet<>();
head.add(start);
tail.add(end);
int step = 0;
while (!head.isEmpty() && !tail.isEmpty()) {
// 优化：每次扩展更小的一端
if (head.size() > tail.size()) {
Set<String> tmp = head; head = tail; tail = tmp;
}
Set<String> next = new HashSet<>();
for (String cur : head) {
for (String nb : expand(cur, dict)) {
if (tail.contains(nb)) return step + 1; // 相遇
if (!visited.contains(nb)) {
visited.add(nb);
next.add(nb);
}
}
}
head = next;
step++;
}
return -1; // 不可达
}| 题目 | 状态 | 扩展方式 |
|---|---|---|
| LC 127. 单词接龙 | 单词字符串 | 逐位替换 a-z |
| LC 752. 打开转盘锁 | 4位数字串 | 每位 ±1 |
| LC 773. 滑动谜题 | 棋盘编码 | 空格与相邻交换 |
将所有源点同时入队作为第 0 层，然后正常 BFS。等价于添加一个"超级源点"连接所有源点。
graph TB Super((超级源)) --> A((源1)) Super --> B((源2)) Super --> C((源3)) A --> D((...)) B --> D C --> D
int multiSourceBFS(int[][] grid) {
int m = grid.length, n = grid[0].length;
int[][] dist = new int[m][n];
Deque<int[]> q = new ArrayDeque<>();
// 所有源点同时入队
for (int i = 0; i < m; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
if (grid[i][j] == SOURCE) {
q.offer(new int[]{i, j});
dist[i][j] = 0;
} else {
dist[i][j] = -1; // 未访问
}
int[][] dirs = {{1,0},{-1,0},{0,1},{0,-1}};
int maxDist = 0;
while (!q.isEmpty()) {
int[] cell = q.poll();
for (int[] d : dirs) {
int ni = cell[0] + d[0], nj = cell[1] + d[1];
if (ni >= 0 && ni < m && nj >= 0 && nj < n && dist[ni][nj] == -1) {
dist[ni][nj] = dist[cell[0]][cell[1]] + 1;
maxDist = Math.max(maxDist, dist[ni][nj]);
q.offer(new int[]{ni, nj});
}
}
}
return maxDist;
}| 题目 | 源点 | 求什么 |
|---|---|---|
| LC 994. 腐烂的橘子 | 所有腐烂橘子 | 全部腐烂的最短时间 |
| LC 542. 01 矩阵 | 所有 0 | 每个 1 到最近 0 的距离 |
| LC 1765. 地图中的最高点 | 所有水域 | 满足约束的最高海拔 |
| LC 1162. 地图分析 | 所有陆地 | 海洋离最近陆地的距离 |
本质：在隐式图上跑 BFS，节点是状态，边是一次操作。
1. 编码：将状态表示为可哈希的对象（String / int / tuple）
2. 扩展：枚举当前状态的所有合法下一步
3. BFS：用 HashSet 记录已访问，逐层扩展直到命中目标
4. 优化：状态空间大时用双向 BFS 或 A*
状态：4 位数字字符串 "0000"~"9999" 操作：某一位 +1 或 -1（共 8 种下一步） 目标：从 "0000" 到 target，避开 deadends
int openLock(String[] deadends, String target) {
Set<String> dead = new HashSet<>(Arrays.asList(deadends));
if (dead.contains("0000")) return -1;
if ("0000".equals(target)) return 0;
Set<String> head = Set.of("0000"), tail = Set.of(target);
Set<String> visited = new HashSet<>(dead);
int step = 0;
while (!head.isEmpty() && !tail.isEmpty()) {
if (head.size() > tail.size()) {
Set<String> tmp = head; head = tail; tail = tmp;
}
Set<String> next = new HashSet<>();
for (String cur : head) {
for (String nb : getNeighbors(cur)) {
if (tail.contains(nb)) return step + 1;
if (!visited.contains(nb)) {
visited.add(nb);
next.add(nb);
}
}
}
head = next;
step++;
}
return -1;
}
List<String> getNeighbors(String s) {
List<String> res = new ArrayList<>();
char[] arr = s.toCharArray();
for (int i = 0; i < 4; i++) {
char orig = arr[i];
arr[i] = (char)('0' + (orig - '0' + 1) % 10);
res.add(new String(arr));
arr[i] = (char)('0' + (orig - '0' + 9) % 10);
res.add(new String(arr));
arr[i] = orig;
}
return res;
}| 题目 | 状态编码 | 扩展方式 |
|---|---|---|
| LC 127. 单词接龙 | 单词字符串 | 逐位替换 26 字母 |
| LC 773. 滑动谜题 | 棋盘字符串 | 空格与相邻交换 |
| LC 847. 访问所有节点的最短路径 | (节点, 访问掩码) | 走向邻居 |
| LC 2059. 转化数字的最小运算数 | 当前数值 | +x / -x / ^x |
当边权只有 0 和 1 时，用双端队列代替普通队列：
时间复杂度 O(V + E)，无需优先队列。
int[] zeroOneBFS(List<int[]>[] graph, int src, int n) {
int[] dist = new int[n];
Arrays.fill(dist, Integer.MAX_VALUE);
Deque<Integer> dq = new ArrayDeque<>();
dist[src] = 0;
dq.offerFirst(src);
while (!dq.isEmpty()) {
int u = dq.pollFirst();
for (int[] edge : graph[u]) {
int v = edge[0], w = edge[1]; // w ∈ {0, 1}
if (dist[u] + w < dist[v]) {
dist[v] = dist[u] + w;
if (w == 0) dq.offerFirst(v);
else dq.offerLast(v);
}
}
}
return dist;
}graph TD
A[搜索问题] --> B{多个起点?}
B -->|是| C[多源 BFS]
B -->|否| D{起点终点都已知?}
D -->|是| E{状态空间大?}
E -->|是| F[双向 BFS / A*]
E -->|否| G[普通 BFS]
D -->|否| H[普通 BFS / DFS]
A --> I{边权只有0和1?}
I -->|是| J[双端队列 BFS]
A --> K{状态是编码而非图节点?}
K -->|是| L[最小步数模型]
| 方法 | 时间 | 空间 | 适用 |
|---|---|---|---|
| 普通 BFS | O(V+E) | O(V) | 单源无权最短路 |
| 双向 BFS | O(b^(d/2)) | O(b^(d/2)) | 起终点已知的最短路 |
| 多源 BFS | O(V+E) | O(V) | 多源同时扩散 |
| 0-1 BFS | O(V+E) | O(V) | 边权仅 0/1 |
| A* | O(E) 最坏 | O(V) | 有启发函数的最短路 |