一、为什么学关键路径？
Mermaid · 渲染中（下方为源码）
graph TD A[带权DAG] --> B[ve: 最早 拓扑递推] A --> C[vl: 最晚 逆拓扑] B --> D[松弛=0 即关键活动] C --> D
在**带权 DAG（活动网 AOE）**中，求从源点到汇点的最长路径——它决定整个工程的最短完成时间，路径上的活动"不能拖延"。
二、核心量
ve[v]：事件 v 的最早发生时间 = 最长路径（拓扑序递推）vl[v]：事件 v 的最晚发生时间 = 总工期 − 到汇点最长（逆拓扑递推）- 活动
(u,v,w)的松弛 =vl[v] − ve[u] − w；松弛为 0 即关键活动
三、实现
// 拓扑序 topo[]，邻接 g，权 w[u][v]
int[] ve = new int[n], vl = new int[n];
Arrays.fill(ve, 0); Arrays.fill(vl, INF);
for (int u : topo) for (var e : g[u]) ve[e.v] = Math.max(ve[e.v], ve[u] + e.w);
int T = ve[sink];
for (int i = topo.length - 1; i >= 0; i--) {
int u = topo[i];
if (g[u].isEmpty()) vl[u] = T;
for (var e : g[u]) vl[u] = Math.min(vl[u], vl[e.v] - e.w);
}
// 关键活动：vl[v] - ve[u] - w == 0