一、为什么需要高精度
编程语言内置的整数类型有上限（Java long 最大约 9.2×10^18）。当数字超过这个范围时（如 100 位的大数），必须用数组/字符串模拟竖式运算。
面试高频题：
| 题目 | 操作 | 难度 |
|---|---|---|
| LC 415. 字符串相加 | 大数加法 | Easy |
| LC 43. 字符串相乘 | 大数乘法 | Medium |
| LC 2. 两数相加 | 链表加法 | Medium |
| LC 67. 二进制求和 | 二进制加法 | Easy |
| 剑指 16. 数值的整数次方 | 快速幂 | Medium |
二、高精度加法
2.1 核心思路
模拟竖式：从最低位开始逐位相加，维护进位。
9 9 9
+ 1 1
---------
1 0 1 0
2.2 模板
String addStrings(String num1, String num2) {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
int i = num1.length() - 1, j = num2.length() - 1, carry = 0;
while (i >= 0 || j >= 0 || carry > 0) {
int sum = carry;
if (i >= 0) sum += num1.charAt(i--) - '0';
if (j >= 0) sum += num2.charAt(j--) - '0';
sb.append(sum % 10);
carry = sum / 10;
}
return sb.reverse().toString();
}2.3 链表版（LC 2）
链表天然从低位开始，无需反转：
ListNode addTwoNumbers(ListNode l1, ListNode l2) {
ListNode dummy = new ListNode(0), cur = dummy;
int carry = 0;
while (l1 != null || l2 != null || carry > 0) {
int sum = carry;
if (l1 != null) { sum += l1.val; l1 = l1.next; }
if (l2 != null) { sum += l2.val; l2 = l2.next; }
cur.next = new ListNode(sum % 10);
carry = sum / 10;
cur = cur.next;
}
return dummy.next;
}三、高精度减法
与加法类似，但需要处理借位和结果符号。
// 假设 a >= b >= 0，返回 a - b
String subtract(String a, String b) {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
int i = a.length() - 1, j = b.length() - 1, borrow = 0;
while (i >= 0) {
int diff = (a.charAt(i--) - '0') - borrow;
if (j >= 0) diff -= (b.charAt(j--) - '0');
if (diff < 0) { diff += 10; borrow = 1; }
else borrow = 0;
sb.append(diff);
}
// 去前导零
while (sb.length() > 1 && sb.charAt(sb.length() - 1) == '0')
sb.deleteCharAt(sb.length() - 1);
return sb.reverse().toString();
}四、高精度乘法
4.1 核心思路
模拟竖式：num1 的第 i 位 × num2 的第 j 位 → 贡献到结果的第 i+j 和 i+j+1 位。
Mermaid · 渲染中（下方为源码）
graph LR A["num1[i] × num2[j]"] --> B["res[i+j] += 进位"] A --> C["res[i+j+1] += 个位"]
4.2 模板
String multiply(String num1, String num2) {
if ("0".equals(num1) || "0".equals(num2)) return "0";
int m = num1.length(), n = num2.length();
int[] res = new int[m + n];
for (int i = m - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = n - 1; j >= 0; j--) {
int mul = (num1.charAt(i) - '0') * (num2.charAt(j) - '0');
int p1 = i + j, p2 = i + j + 1;
int sum = mul + res[p2];
res[p2] = sum % 10;
res[p1] += sum / 10;
}
}
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (int d : res) {
if (!(sb.length() == 0 && d == 0)) sb.append(d);
}
return sb.length() == 0 ? "0" : sb.toString();
}4.3 关键洞察
- 结果最多
m + n位（如 99 × 99 = 9801，2+2=4 位） res[i+j]存进位，res[i+j+1]存个位- 最后去前导零
五、高精度除法（大数 ÷ 小数）
面试中较少出现，但思路是逐位试商：
// 大数 num ÷ 小数 divisor，返回商和余数
String divide(String num, int divisor) {
StringBuilder quotient = new StringBuilder();
int remainder = 0;
for (int i = 0; i < num.length(); i++) {
int cur = remainder * 10 + (num.charAt(i) - '0');
quotient.append(cur / divisor);
remainder = cur % divisor;
}
// 去前导零
String result = quotient.toString().replaceFirst("^0+", "");
return result.isEmpty() ? "0" : result;
}六、二进制加法（LC 67）
把十进制换成二进制，进位条件从 >= 10 变为 >= 2：
String addBinary(String a, String b) {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
int i = a.length() - 1, j = b.length() - 1, carry = 0;
while (i >= 0 || j >= 0 || carry > 0) {
int sum = carry;
if (i >= 0) sum += a.charAt(i--) - '0';
if (j >= 0) sum += b.charAt(j--) - '0';
sb.append(sum % 2);
carry = sum / 2;
}
return sb.reverse().toString();
}七、面试注意事项
- 边界处理：结果为 0 时不要返回空串；去前导零
- 不要转整数：题目要求就是不能用 BigInteger / BigInt
- 乘法数组大小：
m + n足够，不需要更大 - 链表加法：注意链表是逆序存储（低位在前），天然适合逐位相加
- 符号处理：如果题目可能有负数，先比较绝对值大小，再决定用加法还是减法