一、问题背景
Mermaid · 渲染中（下方为源码）
graph LR A[用户/物品] --> B[向量化] B --> C[相似度计算] C --> D[Top-K 推荐]
音乐 App 如何"猜你喜欢"？电商如何"为你推荐"？
推荐系统的核心思路只有两句话：
- 找到跟你口味相似的用户，把他们喜欢的推荐给你
- 找出跟你喜爱的物品特征相似的物品，推荐给你
这两种思路的底层数学工具都是：向量空间 + 距离计算。
二、用户行为的向量化
2.1 构建评分矩阵
将用户对物品的喜爱程度量化为分数：
| 行为 | 得分 |
|---|---|
| 收藏/购买 | 5 |
| 完整播放/阅读 | 4 |
| 点赞 | 3 |
| 部分浏览 | 2 |
| 点击即走 | 1 |
每个用户对应一个向量，维度 = 物品数量：
用户A: [5, 3, 0, 4, 2]
用户B: [4, 4, 1, 3, 0]
用户C: [1, 0, 5, 2, 4]
2.2 高维空间中的"距离"
每个用户是 K 维空间中的一个点。口味相似 → 空间中距离近。
三、相似度度量
3.1 欧几里得距离
[ d(A, B) = \sqrt{\sum_{i=1}^{K}(A_i - B_i)^2} ]
- 距离越小 → 越相似
- 直观，但对量纲敏感
3.2 余弦相似度
[ \cos(\theta) = \frac{A \cdot B}{|A| \times |B|} = \frac{\sum A_i B_i}{\sqrt{\sum A_i^2} \times \sqrt{\sum B_i^2}} ]
- 值域 [-1, 1]，越接近 1 越相似
- 不受向量长度影响，只关注方向
- 推荐系统中最常用
3.3 对比
| 度量 | 适用场景 | 特点 |
|---|---|---|
| 欧氏距离 | 绝对差异敏感 | 受量纲影响 |
| 余弦相似度 | 关注"方向"而非"大小" | 推荐/文本相似度首选 |
| 皮尔逊相关 | 评分尺度不同的用户 | 去均值后的余弦 |
四、基于用户的协同过滤（UserCF）
4.1 算法流程
- 计算目标用户与所有用户的相似度
- 选出 Top-K 个最相似用户
- 将这些相似用户喜欢、但目标用户未接触过的物品推荐出来
- 按加权得分排序
4.2 代码实现
import math
def cosine_similarity(a, b):
dot = sum(x * y for x, y in zip(a, b))
norm_a = math.sqrt(sum(x * x for x in a))
norm_b = math.sqrt(sum(x * x for x in b))
if norm_a == 0 or norm_b == 0:
return 0
return dot / (norm_a * norm_b)
def user_cf(target_user, user_ratings, k=3):
"""基于用户的协同过滤推荐"""
similarities = []
for user, ratings in user_ratings.items():
if user == target_user:
continue
sim = cosine_similarity(user_ratings[target_user], ratings)
similarities.append((user, sim))
# 取 Top-K 相似用户
similarities.sort(key=lambda x: -x[1])
top_k = similarities[:k]
# 加权推荐
scores = {}
for user, sim in top_k:
for item, rating in enumerate(user_ratings[user]):
if user_ratings[target_user][item] == 0 and rating > 0:
scores[item] = scores.get(item, 0) + sim * rating
return sorted(scores.items(), key=lambda x: -x[1])五、基于物品的协同过滤（ItemCF）
5.1 思路
将矩阵转置：每个物品对应一个向量（维度=用户数），计算物品间相似度。
歌曲A被用户评分: [5, 4, 1, 0, 3]
歌曲B被用户评分: [4, 5, 2, 0, 4]
→ A和B的余弦相似度很高 → 喜欢A的人也喜欢B
5.2 UserCF vs ItemCF
| 对比 | UserCF | ItemCF |
|---|---|---|
| 适用场景 | 用户少、物品多 | 物品少、用户多 |
| 实时性 | 用户兴趣变化快 | 物品关系相对稳定 |
| 典型产品 | 新闻推荐 | 电商/音乐推荐 |
| 冷启动 | 新用户难处理 | 新物品难处理 |
六、工程挑战
| 问题 | 解决方案 |
|---|---|
| 冷启动 | 基于内容推荐（标签/类别） |
| 数据稀疏 | 降维（SVD）、填充默认值 |
| 计算量大 | 离线预计算 + 在线 Top-K |
| 马太效应 | 引入随机性/探索策略 |
七、总结
推荐系统的数学本质：
- 将用户/物品映射为高维向量
- 用距离/相似度度量关系
- 基于"近邻"做预测和推荐
核心公式：余弦相似度 = 向量点积 / 向量模之积
这个简单的数学工具，支撑了价值千亿的推荐产业。